Desvendando os Logaritmos!!

Por mais incrível que possa parecer, Logaritmos não existem apenas pra nos fazer passar raiva ou tirar notas baixas, eles foram criados inicialmente com a intenção de facilitar as operações de multiplicação e divisão. Mas como uma coisa tão complicada como logaritmo pode servir pra ajudar numa coisa tão simples?? Pra entendermos isso, primeiro temos que entender alguns conceitos de logaritmos, como por exemplo, o que é Logaritmo??

Essa tão singela palavra que da calafrios em muitos apenas em ouvi-la significa simplesmente um expoente a que se deve elevar um número maior do que zero para se obter outro número, o que nos leva a famosa fórmula: Log_ab = x tão somente se a^x = b, por exemplo:

Log₂1024 = 10, por que 2¹⁰ = 1024

Lê-se logaritmo de 1024 na base 2 é igual a 10.

Antigamente o logaritmo era usado junto a Tábua de Logaritmos, que nada mais é do que um conjunto de Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas, de modo que ao olhar uma progressão geométrica se encontre o numero equivalente na progressão aritmética, por exemplo:

Tabela de Logaritmos de base 2

Progressão Aritmética de Razão = 1

-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

Progressão Geométrica de Razão = 2

1/4,1/2, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024...

Como podem ver o 10 da PA é equivalente ao 1024 da PG, assim como todos os outros números, dando a entender que, a base dos logaritmos é união de PAs e PGs.

Tabela de Logaritmos de base 3

Progressão Aritmética de Razão = 1

-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

Progressão Geométrica de Razão = 3

1/9, 1/3, 0, 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561...

Por essa tabela podemos observar que Log₃243 = 5, pois 3⁵ = 243

E assim funciona para todas as bases de logaritmos.

Agora você me pergunta como isso facilita a multiplicar e a dividir??

Particularmente eu não acho que facilite, mas é realmente muito interessante saber que existem outras formas de se obter os mesmos resultados a partir de métodos diferentes. Vamos supor que você queira multiplicar 16x64... complicado não?! Se você não possuir uma calculadora vai perder um bom tempo!! Mas com os nossos amigos logaritmos eu posso garantir que isso se torna muito fácil!! Vamos pegar a Tabela de Logaritmos de base 2!!

Progressão Aritmética de Razão = 1

-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

Progressão Geométrica de Razão = 2

1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024...

Agora faça o seguinte, ache na tabela os números equivalentes de 16 e 64, e em seguida os some. Agora é só olhar o número equivalente ao resultado e você acaba de transformar uma multiplicação em uma soma!! Pode conferir na calculadora!! Interessante não é?! O mesmo vale para divisão, veja:

1024/16

Na tabela, 1024 = 10 e 16 = 4,

10 – 4 = 6

6 = 64, Por tanto 1024/16 = 64

E além de ser muito divertido, nós já provamos duas das propriedades logarítmicas!! As propriedades logarítmicas são propriedades fundamentais para que se possa executar alguns cálculos ou resolver funções logarítmicas. Essas propriedades são quatro: 1ª) O logaritmo da multiplicação é a soma dos logaritmos. 2ª) O logaritmo da subtração é a divisão dos logaritmos. 3ª) Mudança de base de logaritmos. 4ª) Multiplicação de um numero real por um logaritmo.

As duas primeiras nós já demonstramos com as tabelas de logaritmos, mas não provamos, então vamos provar que elas realmente são uma verdade!!

1ª) O logaritmo da multiplicação é a soma dos logaritmos.
Vamos supor que nos temos os seguintes logaritmos fictícios:

Log_cA.B = X
Log_cA = Y
Log_cB = Z

Segundo a definição dada sobre logaritmos nos parágrafos anteriores nós temos:

C^x = A.B à Substituindo... C^x = C^y.C^z
C^y = A
C^z = B

Pela regra básica da potenciação de que em multiplicação de números com expoentes, conserva-se a base e somam-se os expoentes, nós teremos:

C^x = C^y+z

Para se resolver funções exponenciais( funções relacionadas apenas aos expoentes), quando as bases são iguais nós podemos descartá-las. Sobrando assim:

X = Y+Z à Substituímos pelos seus respectivos Logs, nos temos:

Log­­_cA.B = Log_cA + Log_cB

2ª) O logaritmo da subtração é a divisão dos logaritmos.

É muito semelhante ao anterior, por tanto vamos supor um caso parecido, só que agora com divisão:

Log_cA/B = X
Log_cA = Y
Log_cB = Z

Segundo a definição dada sobre logaritmos nos parágrafos anteriores nós temos:

C^x = A/B à Substituindo... C^x = C^y/C^z
C^y = A
C^z = B

Pela regra básica da potenciação de que em divisão de números com expoentes, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes, nós teremos:

C^x = C^y-z

X = Y-Z à Substituímos pelos seus respectivos Logs, nos temos:

Log­­_cA/B = Log_cA - Log_cB

3ª) Mudança de base de logaritmos.

A regra da mudança de base diz o seguinte:

Log_cA = Log_bA/Log_bC

Provando:

Vamos pegar os mesmos Logs do exemplo para provar essa propriedade e vamos dar valores X, Y e Z para eles:

Adiantando o procedimento, logo na frente colocarei os Logs de acordo com a sua definição:

Log_cA = X à C^x = A
Log_bC = Y à B^y = C
Log_bA = Z à B^z = A

Subtituindo os valores iguais nos teremos:

B^z = C^x à B^z = (B^y)^x

Nas regras de potenciação, em potências de potências, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes, por tanto teremos:

B^z = B^y.x à Descartam-se as bases (pois são iguais), então temos:

Z = Y.X ou X = Z/Y

Substituímos pelos seus respectivos Logs e finalmente temos:

Log_cA = Log_bA/Log_bC

A regra de mudança de base é mais usada quando queremos encontrar a relação de um logaritmo com o logaritmo neperiano, que não vou explicar o que é aqui por que teria que fazer uns 3 posts só de explicação.

4ª) Multiplicação de um numero real por um logaritmo.

Essa propriedade diz que um numero que multiplica um logaritmo é igual ao logaritmo do logaritmando elevado ao mesmo numero. Parece ser complicada de se entender mas vamos tentar facilitar. Digamos que nós temos a seguinte equação:

4.Log₂16 = X

De acordo com essa propriedade, o 4 que multiplica o Log irá passar como potência do logaritmando (16), e então teremos:

16⁴ = 2^x à Para podermos eliminar as bases, vamos igualá-las:

(2³)⁴ = 2^x à Pela regra de potenciação que diz que potencia de potencia, conserva-se a base e multiplica-se as potencias nós teremos:

2¹² = 2^x à Descartando-se as bases nos teremos finalmente à X = 12

Quando o número que multiplica o logaritmo é uma fração, o numerador vira expoente do logaritmando e o denominador vira expoente da base, dessa forma:

6/4. Log₂128 = X à Log_2^4128⁶ = X à (2⁴)^x = 128⁶ à(2⁴)^x = (2⁷)⁶ à 2^4x = 2^7x6

Por tanto teremos: 4x = 7x6 à X = 42/4 à X = 10,5

Exercícios para treino:

Bom, aqui eu vou colocar alguns exercícios fáceis sobre o assunto apenas para treino de logaritmos e funções logarítmicas, e no fim as respostas.

1) De acordo com as definições de logaritmos estudadas descobrir:

a) Log₂4 e) Log₃27 i) Log₄64
b) Log₂64 f) Log₃3 j) Log₅3125
c) Log_2­­256 g) Log₃0 k) Log₉59049
d) Log₂4096 h) Log₃19683 l) Log₁₀10000000000

2) Resolva as seguintes equações logarítmicas:

a) Log₂1024x64 e) Log₂4+ Log₂2 i) 4xLog₂64
b) Log₂1x2048 f) Log₃1- Log₃0 j) 6x Log₃81
c) Log₃81x27 g) Log₄64+64 k) 1/3xLog₃9
d) Log₃6561/9 h) Log₅25x125 l) 81/81xLog₈₁81

Resolução:

1)a) Log₂4 = X à 2^x = 4 à 2^x = 2² à X = 2
b) Log₂64 = X à 2^x = 64 à 2^x = 2⁶ à X = 6
c) Log₂256 = X à 2^x = 256 à 2^x = 2⁸ à X = 8
d) Log₂4096 = X à 2^x = 4096 à 2^x = 2¹² à X = 12
e) Log₃27 = X à 3^x = 27 à 3^x = 3³ à X = 3
f) Log₃3 = X à 3^x = 3 à 3^x = 3¹ à X = 1
g) Log₃0= X à 3^x = 0 à Não existe logaritmo de 0, nem de números menores que 0.
h) Log₃19683 = X à 3^x = 19683 à 3^x = 3¹¹ à X = 11
i) Log₄64 = X à 4^x = 64 à 4^x = 4³ à X = 3
j) Log₅3125 = X à 5^x = 3125 à 5^x = 5⁵ à X = 5
k) Log₉59049 = X à 9^x = 59049 à 9^x = 9⁵ à X = 5
l) Log₁₀10000000000 = X à 10^x = 100000000000 à 10^x = 10¹⁰ à X = 10

2)a) Log₂1024x64 = Log₂1024 + Log₂64 = 10 + 5 = 15
b) Log_2­1x1024 = Log_2­1 + Log₂1024 = 0 + 10 = 10
c) Log₃81x27 = Log₃81 + Log₃27 = 4 + 3 = 7
d) Log₃6561/9 = Log₃6561 – Log₃ 9 = 10 – 2 = 8
e) Log₂4 + Log₂2 = 2 + 1 = 3
f) Log₃1 – Log₃0 = 1 (Pois não existe logaritmo de zero)
g) Log₄64+64 à Log_2^2128 à Log_2^22⁷ = X à (2²)^x = 2⁷ à 2x = 7 à X = 4,5
h) Log₅25x125 = Log₅25 + Log₅125 = 2 + 3 = 5
i) 4xLog₂64 à Log₂64⁴ = X à 2^x = (2⁵)⁴ à X = 5x4 à X = 20
j) 6xLog₃81 à Log₃81⁶ = X à 3^x = (3⁴)⁶ à X = 4x6 à X = 24
k) 1/3Log₃9 à Log_3^39¹ = X à (3³)^x = 3² à 3x = 2 à X = 1,5
l) 81/81 Log₈₁81 à 1Log₈₁81 = X à 81^x = 81¹ à X = 1 (Pois todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo)

Não sou formado em matemática nem nada, por tanto, caso encontrem algum erro, comentem que eu vou corrigir e agradecer no próprio post!! Espero ter ajudado!!

Vlw!! (;